{l}{4x+y=15}{5y+19x=30} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=45$$

$$y=-165$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+y=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$4x=-y+15$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

-y+15 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+15}{4} चा विकल्प वापरा, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

\frac{-y+15}{4} ला 19 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

-\frac{19y}{4} ते 5y जोडा.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{285}{4} वजा करा.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} मध्ये y साठी -165 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-165 ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{15}{4} ते \frac{165}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=45$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=45,y=-165$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=45,y=-165$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x आणि 19x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 19 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

सरलीकृत करा.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 76x+19y=285 मधून 76x+20y=120 वजा करा.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

76x ते -76x जोडा. 76x आणि -76x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$19y-20y=285-120$$

19y ते -20y जोडा.

$$-y=285-120$$

285 ते -120 जोडा.

$$-y=165$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-165$$

19x+5y=30 मध्ये y साठी -165 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

-165 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$19x-825=30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 825 जोडा.

$$19x=855$$

दोन्ही बाजूंना 19 ने विभागा.

$$x=45$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=45,y=-165$$