{l}{4x+y=100}{2x+2y=56} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=24$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+y=100$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$4x=-y+100$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

-y+100 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{4}+25 चा विकल्प वापरा, 2x+2y=56.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

-\frac{y}{4}+25 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

-\frac{y}{2} ते 2y जोडा.

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 50 वजा करा.

$$\frac{3}{2}y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=4$$

x=-\frac{1}{4}y+25 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

4 ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1+25$$

25 ते -1 जोडा.

$$x=24$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=24,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=24,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

4x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

सरलीकृत करा.

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+2y=200 मधून 8x+8y=224 वजा करा.

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-8y=200-224$$

2y ते -8y जोडा.

$$-6y=200-224$$

200 ते -224 जोडा.

$$-6y=-24$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=4$$

2x+2y=56 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+2\times 4=56$$

4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+8=56$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$2x=48$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=24$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=24,y=4$$