{l}{4x+9y=28}{-4x-y=-28} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 28 } \\ { - 4 x - y = - 28 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=7$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+9y=28$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9y वजा करा.

$$4x=-9y+28$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+28\right)$$

-9y+28 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{9}{4}y+7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{9y}{4}+7 चा विकल्प वापरा, -4x-y=-28.

$$-4\left(-\frac{9}{4}y+7\right)-y=-28$$

-\frac{9y}{4}+7 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$9y-28-y=-28$$

9y ते -y जोडा.

$$8y-28=-28$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 28 जोडा.

$$8y=0$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=0$$

x=-\frac{9}{4}y+7 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}\times 28-\frac{9}{32}\left(-28\right)\\\frac{1}{8}\times 28+\frac{1}{8}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=7,y=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

4x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-4\times 4x-4\times 9y=-4\times 28,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-28\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-16x-36y=-112,-16x-4y=-112$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -16x-36y=-112 मधून -16x-4y=-112 वजा करा.

$$-16x+16x-36y+4y=-112+112$$

-16x ते 16x जोडा. -16x आणि 16x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-36y+4y=-112+112$$

-36y ते 4y जोडा.

$$-32y=-112+112$$

-112 ते 112 जोडा.

$$-32y=0$$

दोन्ही बाजूंना -32 ने विभागा.

$$y=0$$

-4x-y=-28 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x=-28$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=0$$