{l}{4x+7y=2}{5x+6y=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+7y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$4x=-7y+2$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

-7y+2 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} चा विकल्प वापरा, 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

-\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

-\frac{35y}{4} ते 6y जोडा.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{2} वजा करा.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{6}{11}$$

x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2} मध्ये y साठी -\frac{6}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{6}{11} चा -\frac{7}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते \frac{21}{22} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{16}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

4x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x+35y=10 मधून 20x+24y=16 वजा करा.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$35y-24y=10-16$$

35y ते -24y जोडा.

$$11y=10-16$$

10 ते -16 जोडा.

$$11y=-6$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=-\frac{6}{11}$$

5x+6y=4 मध्ये y साठी -\frac{6}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

-\frac{6}{11} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{36}{11} जोडा.

$$5x=\frac{80}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{16}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$