{l}{4x+5y=6}{3x+7y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$y = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+5y=6,3x+7y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+5y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$4x=-5y+6$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

-5y+6 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} चा विकल्प वापरा, 3x+7y=8.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}\right)+7y=8$$

-\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{2}+7y=8$$

-\frac{15y}{4} ते 7y जोडा.

$$\frac{13}{4}y+\frac{9}{2}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$\frac{13}{4}y=\frac{7}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{14}{13}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2} मध्ये y साठी \frac{14}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{14}{13}+\frac{3}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{14}{13} चा -\frac{5}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{35}{26}+\frac{3}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{2} ते -\frac{35}{26} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{2}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2}{13},y=\frac{14}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+5y=6,3x+7y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 7-5\times 3}&\frac{4}{4\times 7-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\times 6-\frac{5}{13}\times 8\\-\frac{3}{13}\times 6+\frac{4}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{2}{13},y=\frac{14}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+5y=6,3x+7y=8$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 6,4\times 3x+4\times 7y=4\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$12x+15y=18,12x+28y=32$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+15y=18 मधून 12x+28y=32 वजा करा.

$$12x-12x+15y-28y=18-32$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y-28y=18-32$$

15y ते -28y जोडा.

$$-13y=18-32$$

18 ते -32 जोडा.

$$-13y=-14$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$y=\frac{14}{13}$$

3x+7y=8 मध्ये y साठी \frac{14}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+7\times \frac{14}{13}=8$$

\frac{14}{13} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+\frac{98}{13}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{98}{13} वजा करा.

$$3x=\frac{6}{13}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{2}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2}{13},y=\frac{14}{13}$$