{l}{4x+5y=2}{3x+4y=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+5y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$4x=-5y+2$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

-5y+2 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} चा विकल्प वापरा, 3x+4y=1.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

-\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

-\frac{15y}{4} ते 4y जोडा.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{2} वजा करा.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$y=-2$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

-2 ला -\frac{5}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते \frac{5}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

सरलीकृत करा.

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+15y=6 मधून 12x+16y=4 वजा करा.

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y-16y=6-4$$

15y ते -16y जोडा.

$$-y=6-4$$

6 ते -4 जोडा.

$$-y=2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-2$$

3x+4y=1 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

-2 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-8=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$3x=9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-2$$