{l}{4x+4y=-4}{y=2x-10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = - 4 } \\ { y = 2 x - 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=-10$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+4y=-4,-2x+y=-10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+4y=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$4x=-4y-4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y-4\right)$$

-4y-4 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y-1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y-1 चा विकल्प वापरा, -2x+y=-10.

$$-2\left(-y-1\right)+y=-10$$

-y-1 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+2+y=-10$$

2y ते y जोडा.

$$3y+2=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$3y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-4$$

x=-y-1 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-4\right)-1$$

-4 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=4-1$$

-1 ते 4 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=-10$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+4y=-4,-2x+y=-10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&4\\-2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{4-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4-4\left(-2\right)}&\frac{4}{4-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=-10$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+4y=-4,-2x+y=-10$$

4x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 4x-2\times 4y=-2\left(-4\right),4\left(-2\right)x+4y=4\left(-10\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-8x-8y=8,-8x+4y=-40$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -8x-8y=8 मधून -8x+4y=-40 वजा करा.

$$-8x+8x-8y-4y=8+40$$

-8x ते 8x जोडा. -8x आणि 8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y-4y=8+40$$

-8y ते -4y जोडा.

$$-12y=8+40$$

8 ते 40 जोडा.

$$-12y=48$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$y=-4$$

-2x+y=-10 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x-4=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$-2x=-6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-4$$