{l}{4x+3y=6}{5x-2y=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 6 } \\ { 5 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{42}{23} = 1\frac{19}{23} \approx 1.826086957$$

$$y=-\frac{10}{23}\approx -0.434782609$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=6,5x-2y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+6$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+6\right)$$

-3y+6 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} चा विकल्प वापरा, 5x-2y=10.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}\right)-2y=10$$

-\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-2y=10$$

-\frac{15y}{4} ते -2y जोडा.

$$-\frac{23}{4}y+\frac{15}{2}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{2} वजा करा.

$$-\frac{23}{4}y=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{23}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{10}{23}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2} मध्ये y साठी -\frac{10}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{10}{23}\right)+\frac{3}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{10}{23} चा -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{2} ते \frac{15}{46} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{42}{23}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{42}{23},y=-\frac{10}{23}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=6,5x-2y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\5&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{4\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 6+\frac{3}{23}\times 10\\\frac{5}{23}\times 6-\frac{4}{23}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{23}\\-\frac{10}{23}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{42}{23},y=-\frac{10}{23}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=6,5x-2y=10$$

4x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 6,4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$20x+15y=30,20x-8y=40$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x+15y=30 मधून 20x-8y=40 वजा करा.

$$20x-20x+15y+8y=30-40$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y+8y=30-40$$

15y ते 8y जोडा.

$$23y=30-40$$

30 ते -40 जोडा.

$$23y=-10$$

दोन्ही बाजूंना 23 ने विभागा.

$$y=-\frac{10}{23}$$

5x-2y=10 मध्ये y साठी -\frac{10}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-2\left(-\frac{10}{23}\right)=10$$

-\frac{10}{23} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+\frac{20}{23}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{20}{23} वजा करा.

$$5x=\frac{210}{23}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{42}{23}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{42}{23},y=-\frac{10}{23}$$