{l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x-3y=-28$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+25$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

-3y+25 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+25}{4} चा विकल्प वापरा, 2x-3y=-28.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

\frac{-3y+25}{4} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

-\frac{3y}{2} ते -3y जोडा.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{25}{2} वजा करा.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{9}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=9$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4} मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

9 ला -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{25}{4} ते -\frac{27}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x-3y=-28$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x-3y=-28$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

4x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

सरलीकृत करा.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+6y=50 मधून 8x-12y=-112 वजा करा.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y+12y=50+112$$

6y ते 12y जोडा.

$$18y=50+112$$

50 ते 112 जोडा.

$$18y=162$$

दोन्ही बाजूंना 18 ने विभागा.

$$y=9$$

2x-3y=-28 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-3\times 9=-28$$

9 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-27=-28$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 27 जोडा.

$$2x=-1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$