{l}{4x+3y=18}{x+5y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 18 } \\ { x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{84}{17} = 4\frac{16}{17} \approx 4.941176471$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+18$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+18\right)$$

-3y+18 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}+\frac{9}{2} चा विकल्प वापरा, x+5y=2.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}+5y=2$$

-\frac{3y}{4} ते 5y जोडा.

$$\frac{17}{4}y+\frac{9}{2}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$\frac{17}{4}y=-\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{17}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{10}{17}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2} मध्ये y साठी -\frac{10}{17} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{10}{17}\right)+\frac{9}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{10}{17} चा -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{15}{34}+\frac{9}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{2} ते \frac{15}{34} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{84}{17}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3}&-\frac{3}{4\times 5-3}\\-\frac{1}{4\times 5-3}&\frac{4}{4\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&-\frac{3}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 18-\frac{3}{17}\times 2\\-\frac{1}{17}\times 18+\frac{4}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

4x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$4x+3y=18,4x+4\times 5y=4\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$4x+3y=18,4x+20y=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+3y=18 मधून 4x+20y=8 वजा करा.

$$4x-4x+3y-20y=18-8$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-20y=18-8$$

3y ते -20y जोडा.

$$-17y=18-8$$

18 ते -8 जोडा.

$$-17y=10$$

दोन्ही बाजूंना -17 ने विभागा.

$$y=-\frac{10}{17}$$

x+5y=2 मध्ये y साठी -\frac{10}{17} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+5\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

-\frac{10}{17} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{50}{17}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{50}{17} जोडा.

$$x=\frac{84}{17}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$