{l}{4x+2y=12}{7x+18y=19} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+2y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$4x=-2y+12$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

-2y+12 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+3 चा विकल्प वापरा, 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

-\frac{y}{2}+3 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

-\frac{7y}{2} ते 18y जोडा.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 21 वजा करा.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{29}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{4}{29}$$

x=-\frac{1}{2}y+3 मध्ये y साठी -\frac{4}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{4}{29} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

3 ते \frac{2}{29} जोडा.

$$x=\frac{89}{29}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

4x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

सरलीकृत करा.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 28x+14y=84 मधून 28x+72y=76 वजा करा.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

28x ते -28x जोडा. 28x आणि -28x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$14y-72y=84-76$$

14y ते -72y जोडा.

$$-58y=84-76$$

84 ते -76 जोडा.

$$-58y=8$$

दोन्ही बाजूंना -58 ने विभागा.

$$y=-\frac{4}{29}$$

7x+18y=19 मध्ये y साठी -\frac{4}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

-\frac{4}{29} ला 18 वेळा गुणाकार करा.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{72}{29} जोडा.

$$7x=\frac{623}{29}$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{89}{29}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$