{l}{4a+5b=9}{2a-b=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4a+5b=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5b वजा करा.

$$4a=-5b+9$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

-5b+9 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी \frac{-5b+9}{4} चा विकल्प वापरा, 2a-b=7.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

\frac{-5b+9}{4} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

-\frac{5b}{2} ते -b जोडा.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=-\frac{5}{7}$$

a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4} मध्ये b साठी -\frac{5}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{5}{7} चा -\frac{5}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{4} ते \frac{25}{28} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$a=\frac{22}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

4a आणि 2a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8a+10b=18 मधून 8a-4b=28 वजा करा.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

8a ते -8a जोडा. 8a आणि -8a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10b+4b=18-28$$

10b ते 4b जोडा.

$$14b=18-28$$

18 ते -28 जोडा.

$$14b=-10$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$b=-\frac{5}{7}$$

2a-b=7 मध्ये b साठी -\frac{5}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{7} वजा करा.

$$2a=\frac{44}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$a=\frac{22}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$