{l}{4=3A-9D}{2=8A-8D} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

A, D साठी सोडवा

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3A-9D=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$8A-8D=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला A विलग करून, A साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3A-9D=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 9D जोडा.

$$3A=9D+4$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

9D+4 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये A साठी 3D+\frac{4}{3} चा विकल्प वापरा, 8A-8D=2.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

3D+\frac{4}{3} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

24D ते -8D जोडा.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{32}{3} वजा करा.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 16 ने विभागा.

$$D=-\frac{13}{24}$$

A=3D+\frac{4}{3} मध्ये D साठी -\frac{13}{24} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण A साठी थेट सोडवू शकता.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

-\frac{13}{24} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{4}{3} ते -\frac{13}{8} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$A=-\frac{7}{24}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3A-9D=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$8A-8D=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे A आणि D घटक बाहेर काढा.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3A-9D=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$8A-8D=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

3A आणि 8A समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 24A-72D=32 मधून 24A-24D=6 वजा करा.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

24A ते -24A जोडा. 24A आणि -24A रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-72D+24D=32-6$$

-72D ते 24D जोडा.

$$-48D=32-6$$

32 ते -6 जोडा.

$$-48D=26$$

दोन्ही बाजूंना -48 ने विभागा.

$$D=-\frac{13}{24}$$

8A-8D=2 मध्ये D साठी -\frac{13}{24} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण A साठी थेट सोडवू शकता.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

-\frac{13}{24} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{13}{3} वजा करा.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$A=-\frac{7}{24}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$