{l}{36x-5y=7}{6x+3y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$36x-5y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$36x=5y+7$$

दोन्ही बाजूंना 36 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

5y+7 ला \frac{1}{36} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y+7}{36} चा विकल्प वापरा, 6x+3y=8.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

\frac{5y+7}{36} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

\frac{5y}{6} ते 3y जोडा.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{6} वजा करा.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{23}{6} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{41}{23}$$

x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36} मध्ये y साठी \frac{41}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{41}{23} चा \frac{5}{36} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{36} ते \frac{205}{828} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{61}{138}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

36x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 36 ने गुणाकार करा.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 216x-30y=42 मधून 216x+108y=288 वजा करा.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

216x ते -216x जोडा. 216x आणि -216x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-30y-108y=42-288$$

-30y ते -108y जोडा.

$$-138y=42-288$$

42 ते -288 जोडा.

$$-138y=-246$$

दोन्ही बाजूंना -138 ने विभागा.

$$y=\frac{41}{23}$$

6x+3y=8 मध्ये y साठी \frac{41}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

\frac{41}{23} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{123}{23} वजा करा.

$$6x=\frac{61}{23}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{61}{138}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$