{l}{36x-11y=-19}{24x-17y=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 11 y = - 19 } \\ { 24 x - 17 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{433}{348} = -1\frac{85}{348} \approx -1.244252874$$

$$y = -\frac{68}{29} = -2\frac{10}{29} \approx -2.344827586$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$36x-11y=-19,24x-17y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$36x-11y=-19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 11y जोडा.

$$36x=11y-19$$

दोन्ही बाजूंना 36 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{36}\left(11y-19\right)$$

11y-19 ला \frac{1}{36} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{11}{36}y-\frac{19}{36}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{11y-19}{36} चा विकल्प वापरा, 24x-17y=10.

$$24\left(\frac{11}{36}y-\frac{19}{36}\right)-17y=10$$

\frac{11y-19}{36} ला 24 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{22}{3}y-\frac{38}{3}-17y=10$$

\frac{22y}{3} ते -17y जोडा.

$$-\frac{29}{3}y-\frac{38}{3}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{38}{3} जोडा.

$$-\frac{29}{3}y=\frac{68}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{29}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{68}{29}$$

x=\frac{11}{36}y-\frac{19}{36} मध्ये y साठी -\frac{68}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{11}{36}\left(-\frac{68}{29}\right)-\frac{19}{36}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{68}{29} चा \frac{11}{36} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{187}{261}-\frac{19}{36}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{19}{36} ते -\frac{187}{261} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{433}{348}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{433}{348},y=-\frac{68}{29}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$36x-11y=-19,24x-17y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{17}{36\left(-17\right)-\left(-11\times 24\right)}&-\frac{-11}{36\left(-17\right)-\left(-11\times 24\right)}\\-\frac{24}{36\left(-17\right)-\left(-11\times 24\right)}&\frac{36}{36\left(-17\right)-\left(-11\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{348}&-\frac{11}{348}\\\frac{2}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{348}\left(-19\right)-\frac{11}{348}\times 10\\\frac{2}{29}\left(-19\right)-\frac{3}{29}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{433}{348}\\-\frac{68}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{433}{348},y=-\frac{68}{29}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$36x-11y=-19,24x-17y=10$$

36x आणि 24x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 24 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 36 ने गुणाकार करा.

$$24\times 36x+24\left(-11\right)y=24\left(-19\right),36\times 24x+36\left(-17\right)y=36\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$864x-264y=-456,864x-612y=360$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 864x-264y=-456 मधून 864x-612y=360 वजा करा.

$$864x-864x-264y+612y=-456-360$$

864x ते -864x जोडा. 864x आणि -864x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-264y+612y=-456-360$$

-264y ते 612y जोडा.

$$348y=-456-360$$

-456 ते -360 जोडा.

$$348y=-816$$

दोन्ही बाजूंना 348 ने विभागा.

$$y=-\frac{68}{29}$$

24x-17y=10 मध्ये y साठी -\frac{68}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$24x-17\left(-\frac{68}{29}\right)=10$$

-\frac{68}{29} ला -17 वेळा गुणाकार करा.

$$24x+\frac{1156}{29}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1156}{29} वजा करा.

$$24x=-\frac{866}{29}$$

दोन्ही बाजूंना 24 ने विभागा.

$$x=-\frac{433}{348}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{433}{348},y=-\frac{68}{29}$$