{l}{300=40k+b}{150=55k+b} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 300 = 40 k + b } \\ { 150 = 55 k + b } \end{array} \right.$$

k, b साठी सोडवा

$$k=-10$$

$$b=700$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$40k+b=300$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$55k+b=150$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला k विलग करून, k साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$40k+b=300$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून b वजा करा.

$$40k=-b+300$$

दोन्ही बाजूंना 40 ने विभागा.

$$k=\frac{1}{40}\left(-b+300\right)$$

-b+300 ला \frac{1}{40} वेळा गुणाकार करा.

$$k=-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये k साठी -\frac{b}{40}+\frac{15}{2} चा विकल्प वापरा, 55k+b=150.

$$55\left(-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2}\right)+b=150$$

-\frac{b}{40}+\frac{15}{2} ला 55 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{11}{8}b+\frac{825}{2}+b=150$$

-\frac{11b}{8} ते b जोडा.

$$-\frac{3}{8}b+\frac{825}{2}=150$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{825}{2} वजा करा.

$$-\frac{3}{8}b=-\frac{525}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=700$$

k=-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2} मध्ये b साठी 700 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k साठी थेट सोडवू शकता.

$$k=-\frac{1}{40}\times 700+\frac{15}{2}$$

700 ला -\frac{1}{40} वेळा गुणाकार करा.

$$k=\frac{-35+15}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{15}{2} ते -\frac{35}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$k=-10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=-10,b=700$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$40k+b=300$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$55k+b=150$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40-55}&-\frac{1}{40-55}\\-\frac{55}{40-55}&\frac{40}{40-55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\\\frac{11}{3}&-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 300+\frac{1}{15}\times 150\\\frac{11}{3}\times 300-\frac{8}{3}\times 150\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\700\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे k आणि b घटक बाहेर काढा.

$$k=-10,b=700$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$40k+b=300$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$55k+b=150$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 40k+b=300 मधून 55k+b=150 वजा करा.

$$40k-55k+b-b=300-150$$

b ते -b जोडा. b आणि -b रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$40k-55k=300-150$$

40k ते -55k जोडा.

$$-15k=300-150$$

300 ते -150 जोडा.

$$-15k=150$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$k=-10$$

55k+b=150 मध्ये k साठी -10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण b साठी थेट सोडवू शकता.

$$55\left(-10\right)+b=150$$

-10 ला 55 वेळा गुणाकार करा.

$$-550+b=150$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 550 जोडा.

$$b=700$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=-10,b=700$$