{l}{3y-6=x}{x-9=2y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=39$$

$$y=15$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$3y-6-x=0$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3y-x=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-9-2y=0$$

दोन्ही बाजूंना 9 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-2y=9$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3y-x=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस x जोडा.

$$3y=x+6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

x+6 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{x}{3}+2 चा विकल्प वापरा, -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

\frac{x}{3}+2 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

-\frac{2x}{3} ते x जोडा.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$\frac{1}{3}x=13$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$x=39$$

y=\frac{1}{3}x+2 मध्ये x साठी 39 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

39 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=13+2$$

2 ते 13 जोडा.

$$y=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=15,x=39$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$3y-6-x=0$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3y-x=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-9-2y=0$$

दोन्ही बाजूंना 9 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-2y=9$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=15,x=39$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$3y-6-x=0$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3y-x=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-9-2y=0$$

दोन्ही बाजूंना 9 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-2y=9$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

3y आणि -2y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -6y+2x=-12 मधून -6y+3x=27 वजा करा.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

-6y ते 6y जोडा. -6y आणि 6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-3x=-12-27$$

2x ते -3x जोडा.

$$-x=-12-27$$

-12 ते -27 जोडा.

$$-x=-39$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=39$$

-2y+x=9 मध्ये x साठी 39 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2y+39=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 39 वजा करा.

$$-2y=-30$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=15,x=39$$