{l}{3y=6x-3}{2x=7-y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 6 x - 3 } \\ { 2 x = 7 - y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6x वजा करा.

$$3y-6x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$2x+y=7$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3y-6x=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6x जोडा.

$$3y=6x-3$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)$$

6x-3 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=2x-1$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 2x-1 चा विकल्प वापरा, y+2x=7.

$$2x-1+2x=7$$

2x ते 2x जोडा.

$$4x-1=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$4x=8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=2$$

y=2x-1 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=2\times 2-1$$

2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=4-1$$

-1 ते 4 जोडा.

$$y=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=3,x=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6x वजा करा.

$$3y-6x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$2x+y=7$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=3,x=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6x वजा करा.

$$3y-6x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$2x+y=7$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

3y आणि y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$3y-6x=-3,3y+6x=21$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3y-6x=-3 मधून 3y+6x=21 वजा करा.

$$3y-3y-6x-6x=-3-21$$

3y ते -3y जोडा. 3y आणि -3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6x-6x=-3-21$$

-6x ते -6x जोडा.

$$-12x=-3-21$$

-3 ते -21 जोडा.

$$-12x=-24$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$x=2$$

y+2x=7 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+2\times 2=7$$

2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y+4=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$y=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=3,x=2$$