{l}{3y+x=31}{2y+3x=44} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3y+x=31$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून x वजा करा.

$$3y=-x+31$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

-x+31 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-x+31}{3} चा विकल्प वापरा, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

\frac{-x+31}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

-\frac{2x}{3} ते 3x जोडा.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{62}{3} वजा करा.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=10$$

y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3} मध्ये x साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

10 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{31}{3} ते -\frac{10}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=7,x=10$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=7,x=10$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

3y आणि 2y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

सरलीकृत करा.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6y+2x=62 मधून 6y+9x=132 वजा करा.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

6y ते -6y जोडा. 6y आणि -6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-9x=62-132$$

2x ते -9x जोडा.

$$-7x=62-132$$

62 ते -132 जोडा.

$$-7x=-70$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=10$$

2y+3x=44 मध्ये x साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2y+3\times 10=44$$

10 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+30=44$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 30 वजा करा.

$$2y=14$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=7,x=10$$