{l}{3y+2x=75}{x+y=50} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=75$$

$$y=-25$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3y+2x=75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2x वजा करा.

$$3y=-2x+75$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

-2x+75 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -\frac{2x}{3}+25 चा विकल्प वापरा, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

-\frac{2x}{3} ते x जोडा.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 25 वजा करा.

$$\frac{1}{3}x=25$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$x=75$$

y=-\frac{2}{3}x+25 मध्ये x साठी 75 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

75 ला -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-50+25$$

25 ते -50 जोडा.

$$y=-25$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-25,x=75$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-25,x=75$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

3y आणि y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

सरलीकृत करा.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3y+2x=75 मधून 3y+3x=150 वजा करा.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

3y ते -3y जोडा. 3y आणि -3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-3x=75-150$$

2x ते -3x जोडा.

$$-x=75-150$$

75 ते -150 जोडा.

$$-x=-75$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=75$$

y+x=50 मध्ये x साठी 75 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+75=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 75 वजा करा.

$$y=-25$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-25,x=75$$