{l}{3x-y=3}{7x+2y=20} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 3 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$3x=y+3$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+3\right)$$

y+3 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{3}+1 चा विकल्प वापरा, 7x+2y=20.

$$7\left(\frac{1}{3}y+1\right)+2y=20$$

\frac{y}{3}+1 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{7}{3}y+7+2y=20$$

\frac{7y}{3} ते 2y जोडा.

$$\frac{13}{3}y+7=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7 वजा करा.

$$\frac{13}{3}y=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=\frac{1}{3}y+1 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+1$$

3 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=1+1$$

1 ते 1 जोडा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 2-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3+\frac{1}{13}\times 20\\-\frac{7}{13}\times 3+\frac{3}{13}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

3x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 3,3\times 7x+3\times 2y=3\times 20$$

सरलीकृत करा.

$$21x-7y=21,21x+6y=60$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 21x-7y=21 मधून 21x+6y=60 वजा करा.

$$21x-21x-7y-6y=21-60$$

21x ते -21x जोडा. 21x आणि -21x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-7y-6y=21-60$$

-7y ते -6y जोडा.

$$-13y=21-60$$

21 ते -60 जोडा.

$$-13y=-39$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$y=3$$

7x+2y=20 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+2\times 3=20$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$7x+6=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$7x=14$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=3$$