{l}{3x-y=-9}{2x+3y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = - 9 } \\ { 2 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-y=-9,2x+3y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$3x=y-9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-9\right)$$

y-9 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y-3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{3}-3 चा विकल्प वापरा, 2x+3y=5.

$$2\left(\frac{1}{3}y-3\right)+3y=5$$

\frac{y}{3}-3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y-6+3y=5$$

\frac{2y}{3} ते 3y जोडा.

$$\frac{11}{3}y-6=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$\frac{11}{3}y=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=\frac{1}{3}y-3 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\times 3-3$$

3 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=1-3$$

-3 ते 1 जोडा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-y=-9,2x+3y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-9\right)+\frac{1}{11}\times 5\\-\frac{2}{11}\left(-9\right)+\frac{3}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-y=-9,2x+3y=5$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\left(-9\right),3\times 2x+3\times 3y=3\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$6x-2y=-18,6x+9y=15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-2y=-18 मधून 6x+9y=15 वजा करा.

$$6x-6x-2y-9y=-18-15$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y-9y=-18-15$$

-2y ते -9y जोडा.

$$-11y=-18-15$$

-18 ते -15 जोडा.

$$-11y=-33$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=3$$

2x+3y=5 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\times 3=5$$

3 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+9=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$2x=-4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=3$$