{l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=-7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-y+2=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$3x-y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$3x=y-2$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

y-2 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2+y}{3} चा विकल्प वापरा, 5x-2y+1=0.

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

\frac{-2+y}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

\frac{5y}{3} ते -2y जोडा.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

-\frac{10}{3} ते 1 जोडा.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{7}{3} जोडा.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$y=-7$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} मध्ये y साठी -7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

-7 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{2}{3} ते -\frac{7}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=-7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=-7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

3x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

सरलीकृत करा.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-5y+10=0 मधून 15x-6y+3=0 वजा करा.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5y+6y+10-3=0$$

-5y ते 6y जोडा.

$$y+10-3=0$$

10 ते -3 जोडा.

$$y+7=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7 वजा करा.

$$y=-7$$

5x-2y+1=0 मध्ये y साठी -7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

-7 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+14+1=0$$

14 ते 1 जोडा.

$$5x+15=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$5x=-15$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=-7$$