{l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=9$$

$$y=9$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-5y=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$3x=5y-18$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

5y-18 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y}{3}-6 चा विकल्प वापरा, 3x-2y=9.

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

\frac{5y}{3}-6 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$5y-18-2y=9$$

5y ते -2y जोडा.

$$3y-18=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18 जोडा.

$$3y=27$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=9$$

x=\frac{5}{3}y-6 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

9 ला \frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=15-6$$

-6 ते 15 जोडा.

$$x=9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=9,y=9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=9,y=9$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-5y=-18 मधून 3x-2y=9 वजा करा.

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5y+2y=-18-9$$

-5y ते 2y जोडा.

$$-3y=-18-9$$

-18 ते -9 जोडा.

$$-3y=-27$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=9$$

3x-2y=9 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-2\times 9=9$$

9 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-18=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18 जोडा.

$$3x=27$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=9,y=9$$