{l}{3x-4y=16}{2x-3y=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 16 } \\ { 2 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=8$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-4y=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$3x=4y+16$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+16\right)$$

16+4y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{16+4y}{3} चा विकल्प वापरा, 2x-3y=10.

$$2\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=10$$

\frac{16+4y}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{3}y+\frac{32}{3}-3y=10$$

\frac{8y}{3} ते -3y जोडा.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{32}{3}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{32}{3} वजा करा.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$y=2$$

x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{4}{3}\times 2+\frac{16}{3}$$

2 ला \frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8+16}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{16}{3} ते \frac{8}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=8,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-4\times 10\\2\times 16-3\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=8,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 16,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$6x-8y=32,6x-9y=30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-8y=32 मधून 6x-9y=30 वजा करा.

$$6x-6x-8y+9y=32-30$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y+9y=32-30$$

-8y ते 9y जोडा.

$$y=32-30$$

32 ते -30 जोडा.

$$y=2$$

2x-3y=10 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-3\times 2=10$$

2 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-6=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$2x=16$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=8,y=2$$