{l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y+5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

2y+5 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y+5}{3} चा विकल्प वापरा, -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

\frac{2y+5}{3} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

-\frac{2y}{3} ते 2y जोडा.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

-\frac{5}{3} ते -5 जोडा.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{20}{3} जोडा.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{4}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{47}{4}$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} मध्ये y साठी \frac{47}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{47}{4} चा \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{3} ते \frac{47}{6} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{19}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

3x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3x+2y=-5 मधून -3x+6y-15=27 वजा करा.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

-3x ते 3x जोडा. -3x आणि 3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-6y+15=-5-27$$

2y ते -6y जोडा.

$$-4y+15=-5-27$$

-5 ते -27 जोडा.

$$-4y+15=-32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$-4y=-47$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=\frac{47}{4}$$

-x+2y-5=9 मध्ये y साठी \frac{47}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

\frac{47}{4} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

\frac{47}{2} ते -5 जोडा.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{37}{2} वजा करा.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=\frac{19}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$