{l}{3x-2y=20}{5x+8y=22} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 20 } \\ { 5 x + 8 y = 22 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y+20$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+20\right)$$

20+2y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{20+2y}{3} चा विकल्प वापरा, 5x+8y=22.

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}\right)+8y=22$$

\frac{20+2y}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}+8y=22$$

\frac{10y}{3} ते 8y जोडा.

$$\frac{34}{3}y+\frac{100}{3}=22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{100}{3} वजा करा.

$$\frac{34}{3}y=-\frac{34}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{34}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3} मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{20}{3}$$

-1 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-2+20}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{20}{3} ते -\frac{2}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 20+\frac{1}{17}\times 22\\-\frac{5}{34}\times 20+\frac{3}{34}\times 22\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

3x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 20,3\times 5x+3\times 8y=3\times 22$$

सरलीकृत करा.

$$15x-10y=100,15x+24y=66$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-10y=100 मधून 15x+24y=66 वजा करा.

$$15x-15x-10y-24y=100-66$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-10y-24y=100-66$$

-10y ते -24y जोडा.

$$-34y=100-66$$

100 ते -66 जोडा.

$$-34y=34$$

दोन्ही बाजूंना -34 ने विभागा.

$$y=-1$$

5x+8y=22 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+8\left(-1\right)=22$$

-1 ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-8=22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$5x=30$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-1$$