{l}{3x-2y=0}{4x+y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 0 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

2y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y}{3} चा विकल्प वापरा, 4x+y=5.

$$4\times \frac{2}{3}y+y=5$$

\frac{2y}{3} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{3}y+y=5$$

\frac{8y}{3} ते y जोडा.

$$\frac{11}{3}y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{15}{11}$$

x=\frac{2}{3}y मध्ये y साठी \frac{15}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{15}{11} चा \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{10}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 5\\\frac{3}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

3x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y=0,3\times 4x+3y=3\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$12x-8y=0,12x+3y=15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-8y=0 मधून 12x+3y=15 वजा करा.

$$12x-12x-8y-3y=-15$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y-3y=-15$$

-8y ते -3y जोडा.

$$-11y=-15$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=\frac{15}{11}$$

4x+y=5 मध्ये y साठी \frac{15}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+\frac{15}{11}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{11} वजा करा.

$$4x=\frac{40}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{10}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$