{l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=9$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y+3=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$3x-2y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y-3$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

2y-3 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y}{3}-1 चा विकल्प वापरा, 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

\frac{2y}{3}-1 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

\frac{8y}{3} ते 3y जोडा.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

-4 ते -47 जोडा.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 51 जोडा.

$$\frac{17}{3}y=51$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{17}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=9$$

x=\frac{2}{3}y-1 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

9 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=6-1$$

-1 ते 6 जोडा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=9$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

3x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

सरलीकृत करा.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-8y+12=0 मधून 12x+9y-141=0 वजा करा.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y-9y+12+141=0$$

-8y ते -9y जोडा.

$$-17y+12+141=0$$

12 ते 141 जोडा.

$$-17y+153=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 153 वजा करा.

$$-17y=-153$$

दोन्ही बाजूंना -17 ने विभागा.

$$y=9$$

4x+3y-47=0 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+3\times 9-47=0$$

9 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+27-47=0$$

27 ते -47 जोडा.

$$4x-20=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 20 जोडा.

$$4x=20$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=9$$