{l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$3x-13+y=0$$

दोन्ही बाजूंना 13 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3x+y=13$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y+13$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

-y+13 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+13}{3} चा विकल्प वापरा, 2x+9y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

\frac{-y+13}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

-\frac{2y}{3} ते 9y जोडा.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{26}{3} वजा करा.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{25}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

-2 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{13}{3} ते \frac{2}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$3x-13+y=0$$

दोन्ही बाजूंना 13 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3x+y=13$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$3x-13+y=0$$

दोन्ही बाजूंना 13 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3x+y=13$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

सरलीकृत करा.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+2y=26 मधून 6x+27y=-24 वजा करा.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-27y=26+24$$

2y ते -27y जोडा.

$$-25y=26+24$$

26 ते 24 जोडा.

$$-25y=50$$

दोन्ही बाजूंना -25 ने विभागा.

$$y=-2$$

2x+9y=-8 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

-2 ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-18=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18 जोडा.

$$2x=10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=-2$$