{l}{3x+y=1}{2x-y=11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 2 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = -\frac{31}{5} = -6\frac{1}{5} = -6.2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y+1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

-y+1 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+1}{3} चा विकल्प वापरा, 2x-y=11.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=11$$

\frac{-y+1}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}-y=11$$

-\frac{2y}{3} ते -y जोडा.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{2}{3}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2}{3} वजा करा.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{31}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{31}{5}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} मध्ये y साठी -\frac{31}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{31}{5}\right)+\frac{1}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{31}{5} चा -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{31}{15}+\frac{1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते \frac{31}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{12}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 11\\\frac{2}{5}-\frac{3}{5}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\-\frac{31}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2y=2,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$6x+2y=2,6x-3y=33$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+2y=2 मधून 6x-3y=33 वजा करा.

$$6x-6x+2y+3y=2-33$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y+3y=2-33$$

2y ते 3y जोडा.

$$5y=2-33$$

2 ते -33 जोडा.

$$5y=-31$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-\frac{31}{5}$$

2x-y=11 मध्ये y साठी -\frac{31}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-\left(-\frac{31}{5}\right)=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{31}{5} वजा करा.

$$2x=\frac{24}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{12}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$