{l}{3x+7y=6}{x+3y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 6 } \\ { x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-33$$

$$y=15$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+7y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$3x=-7y+6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+6\right)$$

-7y+6 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{3}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{7y}{3}+2 चा विकल्प वापरा, x+3y=12.

$$-\frac{7}{3}y+2+3y=12$$

-\frac{7y}{3} ते 3y जोडा.

$$\frac{2}{3}y+2=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$\frac{2}{3}y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=15$$

x=-\frac{7}{3}y+2 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{3}\times 15+2$$

15 ला -\frac{7}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-35+2$$

2 ते -35 जोडा.

$$x=-33$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-33,y=15$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-7}&-\frac{7}{3\times 3-7}\\-\frac{1}{3\times 3-7}&\frac{3}{3\times 3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 6-\frac{7}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-33,y=15$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x+7y=6,3x+3\times 3y=3\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$3x+7y=6,3x+9y=36$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+7y=6 मधून 3x+9y=36 वजा करा.

$$3x-3x+7y-9y=6-36$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7y-9y=6-36$$

7y ते -9y जोडा.

$$-2y=6-36$$

6 ते -36 जोडा.

$$-2y=-30$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=15$$

x+3y=12 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+3\times 15=12$$

15 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x+45=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 45 वजा करा.

$$x=-33$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-33,y=15$$