{l}{3x+5y=21}{5x+2y=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+5y=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$3x=-5y+21$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

-5y+21 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{3}+7 चा विकल्प वापरा, 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

-\frac{5y}{3}+7 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

-\frac{25y}{3} ते 2y जोडा.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 35 वजा करा.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{19}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{93}{19}$$

x=-\frac{5}{3}y+7 मध्ये y साठी \frac{93}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{93}{19} चा -\frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

7 ते -\frac{155}{19} जोडा.

$$x=-\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

3x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x+25y=105 मधून 15x+6y=12 वजा करा.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$25y-6y=105-12$$

25y ते -6y जोडा.

$$19y=105-12$$

105 ते -12 जोडा.

$$19y=93$$

दोन्ही बाजूंना 19 ने विभागा.

$$y=\frac{93}{19}$$

5x+2y=4 मध्ये y साठी \frac{93}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

\frac{93}{19} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{186}{19} वजा करा.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=-\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$