{l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 22x जोडा.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x मिळविण्यासाठी -5x आणि 22x एकत्र करा.

$$17x+2y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+5y=-24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$3x=-5y-24$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

-5y-24 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{3}-8 चा विकल्प वापरा, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

-\frac{5y}{3}-8 ला 17 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

-\frac{85y}{3} ते 2y जोडा.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 136 जोडा.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{79}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{408}{79}$$

x=-\frac{5}{3}y-8 मध्ये y साठी -\frac{408}{79} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{408}{79} चा -\frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

-8 ते \frac{680}{79} जोडा.

$$x=\frac{48}{79}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 22x जोडा.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x मिळविण्यासाठी -5x आणि 22x एकत्र करा.

$$17x+2y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 22x जोडा.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x मिळविण्यासाठी -5x आणि 22x एकत्र करा.

$$17x+2y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

3x आणि 17x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 17 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

सरलीकृत करा.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 51x+85y=-408 मधून 51x+6y=0 वजा करा.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

51x ते -51x जोडा. 51x आणि -51x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$85y-6y=-408$$

85y ते -6y जोडा.

$$79y=-408$$

दोन्ही बाजूंना 79 ने विभागा.

$$y=-\frac{408}{79}$$

17x+2y=0 मध्ये y साठी -\frac{408}{79} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

-\frac{408}{79} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{816}{79} जोडा.

$$17x=\frac{816}{79}$$

दोन्ही बाजूंना 17 ने विभागा.

$$x=\frac{48}{79}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$