{l}{3x+5y=1/2}{6x+y=21/5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 6 x + y = \frac { 21 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{41}{54}\approx 0.759259259$$

$$y=-\frac{16}{45}\approx -0.355555556$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+5y=\frac{1}{2},6x+y=\frac{21}{5}$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+5y=\frac{1}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$3x=-5y+\frac{1}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+\frac{1}{2}\right)$$

-5y+\frac{1}{2} ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{6}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{3}+\frac{1}{6} चा विकल्प वापरा, 6x+y=\frac{21}{5}.

$$6\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{6}\right)+y=\frac{21}{5}$$

-\frac{5y}{3}+\frac{1}{6} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-10y+1+y=\frac{21}{5}$$

-10y ते y जोडा.

$$-9y+1=\frac{21}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$-9y=\frac{16}{5}$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$y=-\frac{16}{45}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{6} मध्ये y साठी -\frac{16}{45} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{16}{45}\right)+\frac{1}{6}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{16}{45} चा -\frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{16}{27}+\frac{1}{6}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{6} ते \frac{16}{27} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{41}{54}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{41}{54},y=-\frac{16}{45}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+5y=\frac{1}{2},6x+y=\frac{21}{5}$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 6}&-\frac{5}{3-5\times 6}\\-\frac{6}{3-5\times 6}&\frac{3}{3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{5}{27}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{27}\times \frac{21}{5}\\\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{9}\times \frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{54}\\-\frac{16}{45}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{41}{54},y=-\frac{16}{45}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+5y=\frac{1}{2},6x+y=\frac{21}{5}$$

3x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$6\times 3x+6\times 5y=6\times \frac{1}{2},3\times 6x+3y=3\times \frac{21}{5}$$

सरलीकृत करा.

$$18x+30y=3,18x+3y=\frac{63}{5}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 18x+30y=3 मधून 18x+3y=\frac{63}{5} वजा करा.

$$18x-18x+30y-3y=3-\frac{63}{5}$$

18x ते -18x जोडा. 18x आणि -18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$30y-3y=3-\frac{63}{5}$$

30y ते -3y जोडा.

$$27y=3-\frac{63}{5}$$

3 ते -\frac{63}{5} जोडा.

$$27y=-\frac{48}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 27 ने विभागा.

$$y=-\frac{16}{45}$$

6x+y=\frac{21}{5} मध्ये y साठी -\frac{16}{45} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-\frac{16}{45}=\frac{21}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{16}{45} जोडा.

$$6x=\frac{41}{9}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{41}{54}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{41}{54},y=-\frac{16}{45}$$