{l}{3x+4y=9}{6x+3y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 9 } \\ { 6 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+4y=9,6x+3y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+4y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$3x=-4y+9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+9\right)$$

-4y+9 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{3}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{4y}{3}+3 चा विकल्प वापरा, 6x+3y=9.

$$6\left(-\frac{4}{3}y+3\right)+3y=9$$

-\frac{4y}{3}+3 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-8y+18+3y=9$$

-8y ते 3y जोडा.

$$-5y+18=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$-5y=-9$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=\frac{9}{5}$$

x=-\frac{4}{3}y+3 मध्ये y साठी \frac{9}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{9}{5}+3$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{9}{5} चा -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{12}{5}+3$$

3 ते -\frac{12}{5} जोडा.

$$x=\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+4y=9,6x+3y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-4\times 6}&\frac{3}{3\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 9+\frac{4}{15}\times 9\\\frac{2}{5}\times 9-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+4y=9,6x+3y=9$$

3x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$6\times 3x+6\times 4y=6\times 9,3\times 6x+3\times 3y=3\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$18x+24y=54,18x+9y=27$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 18x+24y=54 मधून 18x+9y=27 वजा करा.

$$18x-18x+24y-9y=54-27$$

18x ते -18x जोडा. 18x आणि -18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$24y-9y=54-27$$

24y ते -9y जोडा.

$$15y=54-27$$

54 ते -27 जोडा.

$$15y=27$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$y=\frac{9}{5}$$

6x+3y=9 मध्ये y साठी \frac{9}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+3\times \frac{9}{5}=9$$

\frac{9}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+\frac{27}{5}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{27}{5} वजा करा.

$$6x=\frac{18}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$