{l}{3x+4y=3}{8x+7y=14} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+4y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$3x=-4y+3$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

-4y+3 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{4y}{3}+1 चा विकल्प वापरा, 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

-\frac{4y}{3}+1 ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

-\frac{32y}{3} ते 7y जोडा.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{18}{11}$$

x=-\frac{4}{3}y+1 मध्ये y साठी -\frac{18}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{18}{11} चा -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

1 ते \frac{24}{11} जोडा.

$$x=\frac{35}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

3x आणि 8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

सरलीकृत करा.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 24x+32y=24 मधून 24x+21y=42 वजा करा.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

24x ते -24x जोडा. 24x आणि -24x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$32y-21y=24-42$$

32y ते -21y जोडा.

$$11y=24-42$$

24 ते -42 जोडा.

$$11y=-18$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=-\frac{18}{11}$$

8x+7y=14 मध्ये y साठी -\frac{18}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

-\frac{18}{11} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{126}{11} जोडा.

$$8x=\frac{280}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{35}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$