{l}{3x+4y=28}{9x-6y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+4y=28$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$3x=-4y+28$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

-4y+28 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-4y+28}{3} चा विकल्प वापरा, 9x-6y=8.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

\frac{-4y+28}{3} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-12y+84-6y=8$$

-12y ते -6y जोडा.

$$-18y+84=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 84 वजा करा.

$$-18y=-76$$

दोन्ही बाजूंना -18 ने विभागा.

$$y=\frac{38}{9}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3} मध्ये y साठी \frac{38}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{38}{9} चा -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{28}{3} ते -\frac{152}{27} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{100}{27}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

3x आणि 9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 27x+36y=252 मधून 27x-18y=24 वजा करा.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

27x ते -27x जोडा. 27x आणि -27x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36y+18y=252-24$$

36y ते 18y जोडा.

$$54y=252-24$$

252 ते -24 जोडा.

$$54y=228$$

दोन्ही बाजूंना 54 ने विभागा.

$$y=\frac{38}{9}$$

9x-6y=8 मध्ये y साठी \frac{38}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

\frac{38}{9} ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{76}{3} जोडा.

$$9x=\frac{100}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=\frac{100}{27}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$