{l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=7$$

$$y=-5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+4y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$3x=-4y+1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

-4y+1 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-4y+1}{3} चा विकल्प वापरा, 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

\frac{-4y+1}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

-\frac{8y}{3} ते 3y जोडा.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2}{3} वजा करा.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$y=-5$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

-5 ला -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते \frac{20}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=-5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=7,y=-5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+8y=2 मधून 6x+9y=-3 वजा करा.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-9y=2+3$$

8y ते -9y जोडा.

$$-y=2+3$$

2 ते 3 जोडा.

$$-y=5$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-5$$

2x+3y=-1 मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

-5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-15=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$2x=14$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=-5$$