{l}{3x+3y=6}{2x-y=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+3y=6,2x-y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+3y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$3x=-3y+6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+6\right)$$

-3y+6 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+2 चा विकल्प वापरा, 2x-y=7.

$$2\left(-y+2\right)-y=7$$

-y+2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y+4-y=7$$

-2y ते -y जोडा.

$$-3y+4=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$-3y=3$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=-1$$

x=-y+2 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

-1 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=1+2$$

2 ते 1 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+3y=6,2x-y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&3\\2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{3\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 7\\\frac{2}{9}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+3y=6,2x-y=7$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\times 3y=2\times 6,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$6x+6y=12,6x-3y=21$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+6y=12 मधून 6x-3y=21 वजा करा.

$$6x-6x+6y+3y=12-21$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y+3y=12-21$$

6y ते 3y जोडा.

$$9y=12-21$$

12 ते -21 जोडा.

$$9y=-9$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$y=-1$$

2x-y=7 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-\left(-1\right)=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$2x=6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-1$$