{l}{3x+2y=7}{4x+6y=13} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y+7$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

-2y+7 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+7}{3} चा विकल्प वापरा, 4x+6y=13.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+6y=13$$

\frac{-2y+7}{3} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+6y=13$$

-\frac{8y}{3} ते 6y जोडा.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{28}{3} वजा करा.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{10}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{11}{10}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3} मध्ये y साठी \frac{11}{10} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{10}+\frac{7}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{10} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{3} ते -\frac{11}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{8}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-2\times 4}&\frac{3}{3\times 6-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 13\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{3}{10}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

3x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\times 6y=3\times 13$$

सरलीकृत करा.

$$12x+8y=28,12x+18y=39$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+8y=28 मधून 12x+18y=39 वजा करा.

$$12x-12x+8y-18y=28-39$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-18y=28-39$$

8y ते -18y जोडा.

$$-10y=28-39$$

28 ते -39 जोडा.

$$-10y=-11$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{10}$$

4x+6y=13 मध्ये y साठी \frac{11}{10} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+6\times \frac{11}{10}=13$$

\frac{11}{10} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+\frac{33}{5}=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{33}{5} वजा करा.

$$4x=\frac{32}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{8}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$