{l}{3x+2y=32}{-x+3y=15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y+32$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

-2y+32 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+32}{3} चा विकल्प वापरा, -x+3y=15.

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

\frac{-2y+32}{3} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

\frac{2y}{3} ते 3y जोडा.

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{32}{3} जोडा.

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=7$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

7 ला -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{32}{3} ते -\frac{14}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

3x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3x-2y=-32 मधून -3x+9y=45 वजा करा.

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

-3x ते 3x जोडा. -3x आणि 3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y-9y=-32-45$$

-2y ते -9y जोडा.

$$-11y=-32-45$$

-32 ते -45 जोडा.

$$-11y=-77$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=7$$

-x+3y=15 मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x+3\times 7=15$$

7 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-x+21=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 21 वजा करा.

$$-x=-6$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=7$$