{l}{3x+2y=12}{4x-y=11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y+12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

-2y+12 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{2y}{3}+4 चा विकल्प वापरा, 4x-y=11.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-y=11$$

-\frac{2y}{3}+4 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{8}{3}y+16-y=11$$

-\frac{8y}{3} ते -y जोडा.

$$-\frac{11}{3}y+16=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 16 वजा करा.

$$-\frac{11}{3}y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{15}{11}$$

x=-\frac{2}{3}y+4 मध्ये y साठी \frac{15}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}+4$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{15}{11} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{10}{11}+4$$

4 ते -\frac{10}{11} जोडा.

$$x=\frac{34}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12+\frac{2}{11}\times 11\\\frac{4}{11}\times 12-\frac{3}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

3x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 12,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$12x+8y=48,12x-3y=33$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+8y=48 मधून 12x-3y=33 वजा करा.

$$12x-12x+8y+3y=48-33$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y+3y=48-33$$

8y ते 3y जोडा.

$$11y=48-33$$

48 ते -33 जोडा.

$$11y=15$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=\frac{15}{11}$$

4x-y=11 मध्ये y साठी \frac{15}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-\frac{15}{11}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{15}{11} जोडा.

$$4x=\frac{136}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{34}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$