{l}{3x+2y=10}{7x-y=29} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 10 } \\ { 7 x - y = 29 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y+10$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+10\right)$$

-2y+10 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+10}{3} चा विकल्प वापरा, 7x-y=29.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=29$$

\frac{-2y+10}{3} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{70}{3}-y=29$$

-\frac{14y}{3} ते -y जोडा.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{70}{3}=29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{70}{3} वजा करा.

$$-\frac{17}{3}y=\frac{17}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{17}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3} मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{10}{3}$$

-1 ला -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2+10}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{10}{3} ते \frac{2}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 7}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{3\left(-1\right)-2\times 7}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 10+\frac{2}{17}\times 29\\\frac{7}{17}\times 10-\frac{3}{17}\times 29\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

3x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$7\times 3x+7\times 2y=7\times 10,3\times 7x+3\left(-1\right)y=3\times 29$$

सरलीकृत करा.

$$21x+14y=70,21x-3y=87$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 21x+14y=70 मधून 21x-3y=87 वजा करा.

$$21x-21x+14y+3y=70-87$$

21x ते -21x जोडा. 21x आणि -21x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$14y+3y=70-87$$

14y ते 3y जोडा.

$$17y=70-87$$

70 ते -87 जोडा.

$$17y=-17$$

दोन्ही बाजूंना 17 ने विभागा.

$$y=-1$$

7x-y=29 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x-\left(-1\right)=29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$7x=28$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=-1$$