{l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y-8$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

-2y-8 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y-8}{3} चा विकल्प वापरा, -x-2y=12.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

\frac{-2y-8}{3} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

\frac{2y}{3} ते -2y जोडा.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{8}{3} वजा करा.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{4}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-7$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3} मध्ये y साठी -7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

-7 ला -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{14-8}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{8}{3} ते \frac{14}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=-7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

3x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3x-2y=8 मधून -3x-6y=36 वजा करा.

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

-3x ते 3x जोडा. -3x आणि 3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y+6y=8-36$$

-2y ते 6y जोडा.

$$4y=8-36$$

8 ते -36 जोडा.

$$4y=-28$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=-7$$

-x-2y=12 मध्ये y साठी -7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

-7 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-x+14=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14 वजा करा.

$$-x=-2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-7$$