{l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+10y=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10y वजा करा.

$$3x=-10y+11$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

-10y+11 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-10y+11}{3} चा विकल्प वापरा, -10x-8y=14.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

\frac{-10y+11}{3} ला -10 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

\frac{100y}{3} ते -8y जोडा.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{110}{3} जोडा.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{76}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

2 ला -\frac{10}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{11}{3} ते -\frac{20}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

3x आणि -10x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -10 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

सरलीकृत करा.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -30x-100y=-110 मधून -30x-24y=42 वजा करा.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

-30x ते 30x जोडा. -30x आणि 30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-100y+24y=-110-42$$

-100y ते 24y जोडा.

$$-76y=-110-42$$

-110 ते -42 जोडा.

$$-76y=-152$$

दोन्ही बाजूंना -76 ने विभागा.

$$y=2$$

-10x-8y=14 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-10x-8\times 2=14$$

2 ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$-10x-16=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 16 जोडा.

$$-10x=30$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=2$$