{l}{3w-2z=5}{w+2z=15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

w, z साठी सोडवा

$$z=5$$

$$w=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला w विलग करून, w साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3w-2z=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2z जोडा.

$$3w=2z+5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

2z+5 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये w साठी \frac{2z+5}{3} चा विकल्प वापरा, w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

\frac{2z}{3} ते 2z जोडा.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{3} वजा करा.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{8}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$z=5$$

w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3} मध्ये z साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण w साठी थेट सोडवू शकता.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

5 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{3} ते \frac{10}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$w=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$w=5,z=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे w आणि z घटक बाहेर काढा.

$$w=5,z=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w आणि w समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3w-2z=5 मधून 3w+6z=45 वजा करा.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

3w ते -3w जोडा. 3w आणि -3w रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2z-6z=5-45$$

-2z ते -6z जोडा.

$$-8z=5-45$$

5 ते -45 जोडा.

$$-8z=-40$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$z=5$$

w+2z=15 मध्ये z साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण w साठी थेट सोडवू शकता.

$$w+2\times 5=15$$

5 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$w+10=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$w=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$w=5,z=5$$