{l}{3u+z=15}{u+2z=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

u, z साठी सोडवा

$$z=3$$

$$u=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला u विलग करून, u साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3u+z=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून z वजा करा.

$$3u=-z+15$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

-z+15 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

इतर समीकरणामध्ये u साठी -\frac{z}{3}+5 चा विकल्प वापरा, u+2z=10.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

-\frac{z}{3} ते 2z जोडा.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$\frac{5}{3}z=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$z=3$$

u=-\frac{1}{3}z+5 मध्ये z साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

3 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$u=-1+5$$

5 ते -1 जोडा.

$$u=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=4,z=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे u आणि z घटक बाहेर काढा.

$$u=4,z=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u आणि u समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3u+z=15 मधून 3u+6z=30 वजा करा.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

3u ते -3u जोडा. 3u आणि -3u रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$z-6z=15-30$$

z ते -6z जोडा.

$$-5z=15-30$$

15 ते -30 जोडा.

$$-5z=-15$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$z=3$$

u+2z=10 मध्ये z साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$u+2\times 3=10$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$u+6=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$u=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=4,z=3$$