{l}{3u+5x=8}{5u+5x=14} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

u, x साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला u विलग करून, u साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3u+5x=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5x वजा करा.

$$3u=-5x+8$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

-5x+8 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये u साठी \frac{-5x+8}{3} चा विकल्प वापरा, 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

\frac{-5x+8}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

-\frac{25x}{3} ते 5x जोडा.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{40}{3} वजा करा.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{10}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{1}{5}$$

u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3} मध्ये x साठी -\frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{1}{5} चा -\frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{8}{3} ते \frac{1}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$u=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे u आणि x घटक बाहेर काढा.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3u+5x=8 मधून 5u+5x=14 वजा करा.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3u-5u=8-14$$

3u ते -5u जोडा.

$$-2u=8-14$$

8 ते -14 जोडा.

$$-2u=-6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$u=3$$

5u+5x=14 मध्ये u साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5\times 3+5x=14$$

3 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$15+5x=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$5x=-1$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$