{l}{3a+5u=17}{2a+u=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

a, u साठी सोडवा

$$a=4$$

$$u=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3a+5u=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5u वजा करा.

$$3a=-5u+17$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

-5u+17 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी \frac{-5u+17}{3} चा विकल्प वापरा, 2a+u=9.

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

\frac{-5u+17}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

-\frac{10u}{3} ते u जोडा.

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{34}{3} वजा करा.

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$u=1$$

a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3} मध्ये u साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{17}{3} ते -\frac{5}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$a=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=4,u=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि u घटक बाहेर काढा.

$$a=4,u=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

3a आणि 2a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6a+10u=34 मधून 6a+3u=27 वजा करा.

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

6a ते -6a जोडा. 6a आणि -6a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10u-3u=34-27$$

10u ते -3u जोडा.

$$7u=34-27$$

34 ते -27 जोडा.

$$7u=7$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$u=1$$

2a+u=9 मध्ये u साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$2a+1=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$2a=8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$a=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=4,u=1$$